Dit artikel is een aangepaste versie van een eerder verschenen artikel op de Erkenbrand webstek.
Wiskunde heeft onder invloed van de naoorlogse tijdsgeest een andere afslag genomen, net zoals bij veel andere wetenschapsgebieden is gebeurd. Waar het bij de alfawetenschappen vaak leidde tot tenenkrommende simplificaties van de werkelijkheid, heeft het binnen wiskunde juist geleid tot een moeras aan complexiteit. Bij dit artikel hebben we een beter te volgen en vollediger bewijs toegevoegd op basis van een bewijs uit de Engelse vertaling 100 Great Problems of Elementary Mathematics van het werk Triumph der Mathematik van de Duitser Heinrich Dörrie. Wij hopen zo het bewijs van de stelling van Abel-Ruffini meer toegankelijk te hebben gemaakt.
Op de middelbare school hebben alle Nederlanders het vak wiskunde gehad en de meesten hebben hierin ook eindexamen gedaan. De wiskunde die wordt gegeven verschilt nogal. Zo hebben we voor de bovenbouw voor havo en vwo wiskunde A, B en D, en voor vwo is daar wiskunde C aan toegevoegd. Voor vmbo is er wiskunde op basis, kader en TL niveau. Voor wie het vak inmiddels niet heeft verdrongen – ja het schijnt dat bij een niet onaanzienlijk grote groep het denken aan wiskunde alleen al dezelfde pijncentra in de hersenen activeert als bij flinke fysieke pijn – zal een aantal onder de havisten en vwo-ers nog steeds bekend zijn met de abc-formule. Met deze formule kunnen kwadratische vergelijkingen worden opgelost. Als een havist of vwo-er een wiskundeleraar heeft gehad met kennis van zaken, zal deze op zijn minst wel eens gewag hebben gemaakt van het bestaan van een soort van abc-formule voor het oplossen van kubieke vergelijkingen (derdegraads vergelijkingen) en vierdegraads vergelijkingen. Voor de laatste twee genoemde vergelijkingen bestaat dus ook een algemene oplossingsformule, uitgedrukt in gehele getallen ondergebracht in breuk- en wortelvormen. Dat deze formules niet algemeen worden gebruikt is overigens niet erg verbazingwekkend. Het is bekend dat oplossingen voor derdegraads vergelijkingen ingewikkelde vormen kunnen aannemen als we de formule gebruiken. Het is zelfs aangetoond dat resulterende wortelvormen met daarin complexe termen (wortels van negatieve getallen) veelal niet zijn te reduceren tot de niet complexe vorm die valt te verwachten (Casus Irreducibilis). Met andere woorden, door deze formules compliceer je oplossingen vaak onnodig; je kunt ze vaak niet gebruiken om de oplossingen in te schatten, d.w.z. waar ze ongeveer liggen op de getallenlijn. Het afleiden van de formules voor kubieke en vierdegraads vergelijkingen is een aardige oefening en heeft alleen in de zin van zuivere wiskunde enige waarde, want de grens van onnodig compliceren wordt hiermee overschreden. Als de leraar volledig is in zijn toelichting zal hij toevoegen dat is aangetoond dat een vergelijking met een hogere graad dan vier in het algemeen niet oplosbaar is in radicalen (oplossing uitgedrukt in gehele getallen ondergebracht in breuk- en wortelvormen). Als een nieuwsgierige leerling dan vraagt hoe dat dan wel is bewezen, zal doorgaans worden geantwoord met de dooddoener dat je pas na of in de laatste jaren van een universitaire wiskundestudie het vak abstracte algebra, in het bijzonder de hieronder vallende galoistheorie, kunt volgen en dat dit daar dan zal worden bewezen. Iemand die voor het eerst kennis neemt van de formules van Cardano (voor het oplossen van gereduceerde kubieke vergelijkingen) zal deze vormen al behoorlijk ingewikkeld vinden (maar zeker te doen voor een vwo-er of havist op wiskunde B en D niveau). Abstracte algebra gaat echter veel verder. Volgens Wikipedia is
“..abstracte algebra het deelgebied van de wiskunde, waar men algebraïsche structuren, zoals groepen, ringen en lichamen of velden, modules, vectorruimten en algebra’s bestudeert. De term “abstracte algebra” werd in het begin van de twintigste eeuw ingevoerd om dit studieterrein te onderscheiden van de “algebra” of “middelbare-schoolalgebra”, waar het meer gaat om het toepassen van de correcte regels om formules en algebraïsche uitdrukkingen in reële getallen, complexe getallen en onbekenden te manipuleren. Dit onderscheid wordt tegenwoordig zelden meer gemaakt.”
Het staat er zo mooi, maar voor de leek is het niet te volgen. Afgaand op de Wikipedia tekst, krijgt u niet de indruk dat hier de grens van onnodig compliceren wordt overschreden, maar ook niet dat het enig nut heeft. Wikipedia vult verder hierop aan:
“De hedendaagse wiskunde en wiskundige natuurkunde maken intensief gebruik van de abstracte algebra, de theoretische natuurkunde maakt bijvoorbeeld gebruik van Lie-algebra‘s. Vakgebieden zoals de algebraïsche getaltheorie, algebraïsche topologie en de algebraïsche meetkunde passen algebraïsche methoden toe op andere gebieden van de wiskunde. Representatietheorie haalt ruwweg gesproken het ‘abstracte’ uit de ‘abstracte algebra’ en bestudeert de concrete kant van een gegeven algebraïsche structuur; zie modeltheorie.
Twee wiskundige vakgebieden die de eigenschappen van algebraïsche structuren als een geheel bestuderen zijn de universele algebra en de categorietheorie. Algebraïsche structuren vormen samen met de bijbehorende homomorfismen categorieën. De categorietheorie is een krachtige formalisme om de verschillende algebraïsche structuren te bestuderen en vergelijken.”
Voor niet ingewijden is dit abracadabra en lijkt zo alleen toegankelijk voor mensen die bovenmatig intelligent zijn en bereid zijn er veel tijd in te stoppen. Bovendien lijkt het zo allemaal een gewichtige belangrijke aangelegenheid waar we maar te vertrouwen hebben op experts. Wat bijvoorbeeld opvalt is het noemen van theoretische natuurkunde als toepassingsgebied voor abstracte algebra. Punt is echter dat er, zeker in absolute zin, nogal wat natuurkundigen zijn, ook goede theoretici, die kritiek hebben op de manier waarop natuurkunde wordt gemathematiseerd. Zie bijvoorbeeld de video’s van Alexander Unzicker en Sabine Hossenfelder. Het heeft er alle schijn van dat het wiskundig bouwwerk dat het Standaard model van de natuurkunde moet voorstellen, een keizer is zonder kleren: het is zeer gecompliceerd en voorspelt bepaalde waarnemingen prima volkomen analoog aan het door Ptolemaeus gebruikte epicykel model, maar net als het epicykel model heeft het er alle schijn van dat het weinig werkelijkheidswaarde bezit. Wat het wel biedt is de mogelijkheid een model oneindig verder uit te breiden tot een steeds complexer geheel, waarvan niemand meer precies kan overzien hoe het in elkaar zit en waarbinnen men eigenlijk alleen nog maar kan verdwalen als in een Kafkaëske nachtmerrie van vervreemding. Maar hoe zit dat dan met de wiskunde die hier wordt gebruikt, gaat die dan nog wel ergens over? Een relatieve, maar in absolute zin zeker niet onaanzienlijke, minderheid van wiskundigen denkt van niet. Historisch zijn er grote wiskundigen geweest zoals Kronecker, Poincaré en De Brouwer die niet veel brood zagen in de zogenaamde formele wiskunde (onnodig compliceren en onheus de suggestie wekken dat door formaliseren tot een diepere laag van begrip en inzicht kon worden doorgedrongen, tot de beschuldiging de jeugd te willen bederven), die onder andere door Hilbert en Russel werd ontwikkeld. Het voert evenwel te ver om hier dieper op in te gaan. Wat wij hier onder de aandacht willen brengen is dat er na de tweede wereldoorlog kennelijk voor is gekozen om wereldwijd wiskunde op een formele manier aan te bieden en uit te breiden, wat neerkomt op het gangbaar maken van abstracte complexe wiskunde, die verder afstaat van de intuïtie. Dit is des te vreemder aangezien ondubbelzinnig is aangetoond dat de doelstellingen van de formalisten niet haalbaar bleken (dit valt dan weer wel door iedereen goed te begrijpen, maar dat is voor een ander artikel). In ieder geval wordt de gewone geïnteresseerde eigenlijk zo toch wel ontmoedigd om wiskunde te willen begrijpen op academisch niveau, alleen al door de manier waarop het vandaag de dag wordt aangeboden. Het huidige gangbare bewijs van de stelling van Abel-Ruffini (een vergelijking van een hogere graad dan vier is in het algemeen niet oplosbaar in radicalen) vormt wat betreft ontmoedigen tot begrijpen hier geen uitzondering op. Wij van Erkenbrand zien het eigenlijk tot onze plicht om kennis toegankelijker te maken daar waar het kan. Niet dat wij zelf het leveren van het bewijs van de Stelling van Abel-Ruffini uitzonderlijke nuttig vinden, zoals de lezer uit het voorgaande heeft kunnen opmaken, maar wij beseffen ook, dat vaak tegen beter weten in, het toch willen weten hoe het zit passend bij de aangeboren Boreale nieuwsgierigheid, bij sommigen te groot is om te willen opgeven. In het bijgevoegde document is daarom het bewijs geleverd, via een weg die dichter bij het probleem zelf staat, die gebaseerd is op een stelling Kronecker. De doelgroep zijn de geïnteresseerden die wiskunde op vwo wiskunde D of havo wiskunde D beheersen, of zichzelf op dat niveau kunnen brengen. De gewenste voorkennis staat in het document omschreven.
Het in het bijgevoegde document gegeven bewijs van de stelling van Abel-Ruffini is overigens grotendeels gebaseerd op het bewijs uit David Antins vertaling “100 Great Problems of Elementary Mathematics Their History and Solution” van Heinrich Dörries Triumph der Mathematik. Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur. Het bewijs gegeven in de vertaling is evenwel zeer gecondenseerd en de terminologie is verwarrend. Daarom kan het daar gegeven bewijs volgens ons niet worden gezien als een alternatief voor de lastige abstracte formeel gangbare route. In het bijgeleverde document menen wij er in geslaagd te zijn lacunes in David Antins vertaling te hebben opgevuld en voldoende verduidelijkende voorkennis te hebben toegevoegd. De achtergrond van David Antin is trouwens op zijn minst merkwaardig te noemen. Hij was een joods Amerikaanse dichter:
“In his talk pieces Antin blends personal narrative with philosophical reflection to address issues of meaning. In “tuning,” for example, he critiques the concept of “understanding” and offers an alternative model. In “what it means to be avant garde” he suggests that the avant garde attempts to address not the future but the present. In “the fringe” he tells a story about resistance to the Vietnam War that offers as a central figure a bucket containing the urine of several Guggenheim poets.”
“He spent the first ten years of his career (1955-1964) as a translator of both scientific texts and fiction, including multiple scientific text translations (typically German to English) for Pergamon Press where he interacted frequently with the company’s flamboyant founder, British publishing tycoon Robert Maxwell.”
Aldus Wikipedia. Bijzonder is ook dat Wikipedia suggereert dat Maxwell (inderdaad: de vader van) een Brit is, terwijl hij jood is en naar alle waarschijnlijkheid een agent was van de Mossad. Maxwell had zo ongeveer het monopolie verworven op de publicatie van wetenschappelijke boeken.
Voor de lezer die nog één keer wiskunde huiswerk wil aangaan: vergelijk het bewijs gegeven in het oorspronkelijke werk van Dörrie met het bewijs in de vertaling van Antin. Vind de lacunes en de vertaalfouten. Ervaar daarna de schoonheid van een sluitend bewijs:
